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 Nota: Para outros significados, veja Ângulo (desambiguação).
Um ângulo agudo
Ângulo é a reunião de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo.[1] Trata-se de um dos conceitos fundamentais da matemática e é objeto de estudo em Geometria.[2]Índice1 Elementos conceituais, componentes e aplicações
2 Unidades de medidas
3 Medição
4 Classificações4.1 Quanto à medida
4.2 Quanto a complementações
5 Histórico
6 Significações derivadas
7 Ver também
8 Referências
9 Ligações externasElementos conceituais, componentes e aplicações[editar | editar código-fonte]
O principal ramo da matemática que se relaciona com o conceito de ângulo é a trigonometria. Além das funções da trigonometria, as principais funções (ou operações) com ângulos são a soma, a subtração , a multiplicação e divisão por um número.[3]
Semirretas são os lados do ângulo. Origem ou vértice é o ponto onde as duas semirretas se encontram. Bissetriz é a semirreta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.
Também é muito notória a conceituação dos números pi e e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.
Já na matemática aplicada é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre são a cartografia, a geografia, a engenharia, a física, a química, a biologia, vários ramos da medicina, como a ortopedia, a odontologia, a astronomia, a aviação.
Embora o senso comum preveja apenas ângulos positivos, a matemática admite a existência de ângulos negativos, ou seja, ângulos têm sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento de vetores na forma polar, em alternativa à forma cartesiana.
Do mesmo modo, é definida na convenção matemática a noção de ângulos entre curvas, como sendo o ângulo entre as retas tangentes no ponto de interseção .Unidades de medidas[editar | editar código-fonte]
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo.[4] O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.
A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2? radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é ?/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, ?/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.Medição[editar | editar código-fonte]
O ângulo ? é o quociente de s por r.
Para medir um ângulo ?, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variavel k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus,



k
≈

57.29577951

∘


.


{\displaystyle k\approx 57.29577951^{\circ }.}




θ
=


s
r


(
k
)
.


{\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}(k).}
Cabe mencionar que valor de ? é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.Classificações[editar | editar código-fonte]
Quanto à medida[editar | editar código-fonte]
Ângulo agudo.
Ângulo reto.
Ângulo raso.
Ângulo giro ou ângulo completo.
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:Nulo: um ângulo nulo mede 0°;
agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares;
obtuso: é um ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°;
raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;
côncavo ou reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
giro ou completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).
O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc.
Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.
Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.Quanto a complementações[editar | editar código-fonte]
Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.
Para facilitar a memorização dos termos correlatos desta parte da Geometria euclidiana, utilizamos a seguinte frase: Com o Senhor Estou a Rezar (C = complemento, S = suplemento, E = explemento e R = replemento).Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos explementares: Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.
Dois ângulos complementares
Na geometria euclidiana, dois ângulos complementares são ângulos cujas medidas somadas resultam em 90 graus ou ?/2 radianos. Por exemplo, o ângulo



α


{\displaystyle \alpha }

e o ângulo



90
−
α


{\displaystyle 90-\alpha }

são complementares. Propriedades dos ângulos complementares:Em geometria euclidiana, os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares. Isto acontece porque, sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo 180 graus e um ângulo é de 90 graus, sobra para os outros ângulos 90 graus.
Quando se tem dois ângulos adjacentes complementares, esses dois ângulos juntos formam um ângulo reto. Exemplo: a+b=90º graus
Dois ângulos suplementares
Em geometria, dois ângulos suplementares são ângulos que somados, dão 180 graus ou



Ï€


{\displaystyle \pi }

radianos.Por exemplo, o ângulo



α


{\displaystyle \alpha }

e o ângulo



180
−
α


{\displaystyle 180-\alpha }

(b) são suplementares. A aplicação do conceito de ângulos suplementares é fundamental em diversos momentos, principalmente na geometria euclidiana e na geometria esférica. Por exemplo, pode-se vê-lo presente no seguinte teorema:Teorema: Os ângulos internos de um paralelogramo são dois a dois suplementares.
Prova: Sejam



α
,
β
,
γ
Â


e


Â
δ


{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \ {\mbox{e}}\ \delta }

os ângulos do paralelogramo. Então, temos que



(
α
,
β
)
,
(
β
,
γ
)
,
(
γ
,
δ
)
Â


e


Â
(
δ
,
α
)


{\displaystyle (\alpha ,\beta ),(\beta ,\gamma ),(\gamma ,\delta )\ {\mbox{e}}\ (\delta ,\alpha )}

são pares de ângulos colaterais internos. Por propriedade, suas somas valem 180° (ou seja,



α
+
β
=
β
+
γ
=
γ
+
δ
=
δ
+
α
=
180


{\displaystyle \alpha +\beta =\beta +\gamma =\gamma +\delta =\delta +\alpha =180}

°). logo, eles são suplementares.



â—»


{\displaystyle \square }
O ângulo replementar de qualquer ângulo é o ângulo que, somado com o primeiro, dá 360 graus,




2
Ï€



{\displaystyle {2\pi }}

radianos.
Ângulos explementares são ângulos cujas medidas subtraídas resultam em 180 graus ou ? radianos. Por exemplo, 10º e 190º são explementares.Histórico[editar | editar código-fonte]
Euclides definiu um ângulo plano como a inclinação entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano. De acordo com Proclo, um ângulo deve ser uma quantidade, qualidade ou relação. O primeiro conceito (quantidade) foi usado por Eudemus, que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado por Carpus de Antioch, que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.[5]
Um dos conhecidos três problemas clássicos da matemática grega foi o da trissecção do ângulo.[6]
O Principia mathematica, um compêndio que tentou demonstrar do início os fundamentos da matemática, tinha um quarto volume previsto, especialmente para a geometria, mas que nunca foi realizado.Significações derivadas[editar | editar código-fonte]
Existem vários significados para a palavra ângulo, todos eles derivadas da sua significação matemática, como ponto de vista, imagem que se vê através de uma lente e esquina.[7] Ângulo também pode significar o local no gol, em futebol, de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.Ver também[editar | editar código-fonte]
Arco (matemática)
Círculo
Seno
Cosseno
Tangente
Geometria
Referências? Viana, Giovana K. A. M; Toffoli, Sônia F. L.; Sodré, Ulysses (24 de março de 2005). Ensino Fundamental: Geometria: Ângulos. [S.l.]: Planeta Sercomtel. Consultado em 11 de janeiro de 2012. Arquivado do original em 12 de maio de 2013 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)? Dolce, O. (2013). Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863 ? «Como representar os movimentos de inclinação no mundo?». Click Educação. 1 de janeiro de 2006. Consultado em 11 de janeiro de 2012 ? «Medidas de ângulos de Arcos» (PDF). Fundamentos de Matemática Elementar, Universidade Federal da Bahia. Consultado em 11 de janeiro de 2012 ? Heiberg, Johan Ludvig (1908). Euclid (em inglês). 1. [S.l.]: Cambridge University Press ? Carvalho, João Pitombeira de. «Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega» (PDF). Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Consultado em 12 de janeiro de 2012 ? Ferreira, Aurélio Buarque de Holanda (1986). Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa 2 ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. ISBN 8520904114Â
Ligações externas[editar | editar código-fonte]Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Livros e manuais no Wikilivros
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WikcionárioÂngulos - Brasil Escola
Ângulo. Medidas de um ângulo - Escola Kids
Ângulos - Geometria Básica - Guia do Estudante
Ângulos - Só Matemática
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